Aplicación método de regresión lineal para el análisis entre la tasa de exportaciones de metal y minerales y la tasa de crecimiento de PIB anual en Colombia

La estadística desempeña un papel fundamental en nuestra sociedad. Su importancia se puede basar en su capacidad para proporcionar métodos y herramientas para recopilar, analizar e interpretar datos de manera rigurosa y confiable. En este sentido, se resalta el hecho de estudiar problemas o cuestiones que surgen en nuestra vida diaria. Mediante esta investigación, podemos realizar inferencias y generalizar los resultados a poblaciones más amplias, lo que nos permite tomar decisiones informadas. Además, nos ayuda a comprender cómo se desarrolla y se estimula la economía de un país a base de las importaciones y exportaciones (clave en las dinámicas del mercado actual) que pueden afectar el PIB tanto positivo como negativamente.

 

En esta investigación se analizará una cuestión económica específica de Colombia teniendo en cuenta nuestro país depende en gran medida de la explotación y exportación de recursos naturales, siendo el sector minero uno de los principales motores de crecimiento económico. El objetivo de esta exploración consiste en emplear el método estadístico de regresión lineal de manera que se pueda llegar a relacionar la tasa de exportaciones de metales y minerales frente a la tasa de crecimiento de PIB anual en Colombia. Por esto se formula la siguiente pregunta: ¿En qué medida es posible evidenciar una correlación entre la tasa de exportaciones de metal y minerales respecto a la tasa de crecimiento del Producto Interno Bruto (PIB) anual en Colombia durante el periodo de 2001 y 2021?

 

Para empezar, la regresión linear es “un procedimiento estadístico que busca establecer una relación directa o inversa entre dos o más variables” (Pockel, 2012) la cual de manera interesante nos permite hacer predicciones del comportamiento de alguna variable en especifico en un determinado momento. Este método es valioso para la investigación considerando nos ayudarnos a comprender y predecir el comportamiento de sistemas complejos en el análisis de datos económicos y financieros para lograr comprobar si estos dos datos están relacionados y poder ver su grado de relación que presentan teniendo en cuenta otros aspectos.

 

En términos de la estructura investigativa, esta cuenta con información de fuentes autorizadas en el procesamiento de esta información macroeconómica de los países como el Banco Mundial al momento de recolectar los datos de las tasa de exportaciones de metal y minerales así como la tasa de crecimiento del PIB anual de Colombia para las fechas 2001 hasta 2021. Necesariamente se hace una aclaración frente a la inexistencia de datos oficiales (en la página de Banco Mundial) para el año 2022 o 2023 en la actualidad, por lo cual se trabaja hasta esta fecha.  Asimismo, la utilización de Excel para llevar a cabo el análisis y la comprobación matemática. Por consiguiente, la metodología está dividida de la siguiente forma: Primero, se realiza la búsqueda de la teoría para obtener los cálculos correspondientes a los datos, Luego se fundamenta en la parte matemática, donde se procede a realizar los respectivos cálculos del coeficiente de correlación, diagrama de dispersión y la ecuación de la recta. Y por último, se proponen unas conclusiones para dar respuesta a la pregunta con base a los hallazgos establecer la existencia de una correlación entre las variables involucradas y la importancia de esto.

Información necesaria para aplicar el método estadístico de regresión lineal Como primera parte se identificaron las dos variables a trabajar: la tasa de exportaciones de metal y minerales (variable independiente) y la tasa de crecimiento del PIB anual para Colombia (variable dependiente). Aquí teniendo claro esto, se hizo el proceso de búsqueda y recolección de la información necesaria delimitada para el periodo entre 2001 hasta 2021 para poder iniciar la investigación. A continuación se organizaron los datos en tablas y gráficas:

Ahora se presenta de manera general los gráficos del comportamiento de cada variable analizada a lo largo de esta investigación a partir de la regresión lineal.

Primeramente, se presentan los datos tratados en un diagrama de cajas y bigotes útil para hacer la representación en la que permite visualizar y describir de forma gráfica la distribución de un conjunto de datos, a través de los cuartiles, como es la distribución, tendencia central, dispersión, simetría, valores atípicos y extremos y por ello poder comparar las distribuciones (Benítez, 2021).

En esta figura se puede identificar los 3 cuartiles de los dos conjuntos de datos:

 

Tasa de exportaciones metales y minerales: Q₁ = 1,05  Q₂ = 1,2 y Q₃ = 1,6

 

Tasa de crecimiento PIB anual: Q₁ =  2,3  Q₂ = 3,9 y Q₃ = 5,2

 

Los puntos naranjas afuera de los bigotes en la caja de Tasa de crecimiento PIB anual representa un valor atípico, el cual es un dato propio de la estadística de datos obtenida que numéricamente es muy distinta al resto de elementos de la muestra.

 

A partir de la aplicación matemática estadística de Excel se hace la representación gráfica de las dos variables en contexto para Colombia. Para este caso la Tasa de exportaciones de metales y minerales se representa sobre el eje X y la Tasa de crecimiento del PIB anual de Colombia sobre el eje Y.

Con base al diagrama anterior, se pudo establecer que la correlación que tienen las dos variables, en este caso fue débil, ya que, a pesar de que los datos presenten crecimiento positivo, no se logra establecer una relación firme entre ambas variables, como se puede observar en la imagen a continuación.

Con el propósito de respaldar la afirmación anterior, se llevan a cabo cálculos matemáticos que demuestran la correlación existente entre los datos, tomando como base la línea que mejor se ajusta a dichos datos, conocida como la Recta de Mejor Ajuste.

 

Se establece una expresión algebraica para relacionar las dos variables, que en el caso de la regresión lineal se presenta de la siguiente manera.

 

\(\hat y=b_0+b_1x\)

 

Para lograr obtener la recta, se necesitó calcular b₁ y b₀, las cuales tienen su Propia fórmula que son -

 

\(b_1=\frac{S_{xy}}{(S_x)^2}\)

 

\(b_0=\frac{\sum y-b_1 \sum x}{n}\)

 

Por lo tanto, para hallar estas incógnitas debemos trabajar primero en unas ecuaciones que serían secundarias.

 

\(S_x=\sqrt{\sum x^2-\frac{(\sum x)^2}{n}}\)

 

\(S_y=\sqrt{\sum y^2-\frac{(\sum y)^2 }{n}}\)

 

\(S_{xy}=\sum xy-\frac{\sum x\sum y}{n}\)

 

Ahora, aquí desarrollamos el procedimiento matemático correspondiente a hallar el valor de las incógnitas con base a las ecuaciones. Para llegar a ello se debieron hacer una serie de cálculos adicionales con ayuda de Excel mostrados en el Anexo 1 y 2.

 

\(S_{xy}=\sum xy-\frac{\sum x\sum y}{n}\)

 

\(113.63-\frac{(28.4)(76.9)}{22}\)

 

\(S_{xy}=14.35909091=14.36\)

 

\(S_x=\sqrt {\sum x^2-\frac{(\sum x)^2}{n}}\)

 

\(\sqrt{42.28-\frac{(28.4)^2}{22}}\)

 

S_x = 2.37027041 = 2.37

 

\(s_y=\sqrt{\sum y^2-\frac{(\sum y)^2}{n}}\)

 

\(\sqrt{502.55-\frac{(76.9)^2}{22}}\)

 

S_y = 15.28886999 = 15.29

 

Ahora, se pueden hallar los valores para b₁ y b₀ -

 

\(b_1=\frac{S_{xy}}{(S_x)^2}\)

 

\(\frac{14.36}{(2.37)^2}\)

 

b₁ = 2.557

 

\(b_0=\frac{\sum y-b_1\sum x}{n}\)

 

\(\frac{76.9-(2.56×28.4)}{22}\)

 

b₀ = 0.1907

 

Tras haber hallado todos los datos, podemos reescribir la ecuación de la relación entre la Tasa de exportaciones de metales y minerales y la Tasa de Crecimiento PIB anual para Colombia en los años seleccionados.

 

\(\hat y=b_0+b_1x\)

 

\(\hat y=0.1907x+2.557\)

 

Utilizando esta ecuación, es factible realizar estimaciones sobre el crecimiento económico del PIB año tras año en Colombia, ya que permite mostrar las posibles fluctuaciones que podrían ocurrir en relación con la tasa de exportaciones de metales y minerales. Sin embargo, es importante destacar que debido a que la relación no fue sólida, las predicciones no serían completamente precisas debido a la existencia de una amplia dispersión en los datos.

 

Después, se va a encontrar el coeficiente de correlación, conocido como "r". Este coeficiente representa la fuerza de la relación entre las variables. Su resultado debe basarse en el rango de -1 a 1, lo que indicaría si existe una relación positiva fuerte, una relación débil o una relación negativa fuerte.

 

Para determinar el valor de este coeficiente, se utiliza la siguiente ecuación.

 

\(r=\frac{S_{xy}}{S_xS_y}\)

 

\(r=\frac{14.36}{(2.37)(15.29)}\)

 

r = 0,40

 

Para determinar que significaría el valor de correlación de Pearson obtenido nos basaremos en una tabla de información presentada a continuación -

Teniendo en cuenta los diferentes valores obtenidos anteriormente, se puede establecer que la correlación entre las variables en este caso correlación positiva débil lo que significa que cuando una variable aumenta, la otra tiende a aumentar, pero la relación no es muy fuerte y los valores de las variables no están muy estrechamente relacionados.

 

Además, mediante el coeficiente de correlación se puede calcular el coeficiente de determinación, el cual representa el porcentaje que indica la medida en que los datos muestran cierto tipo de relación. Para obtener este valor, se utiliza la siguiente fórmula, en la cual se sustituye la variable "r" por su valor calculado.

 

r² × 100%

 

(0,40)² × 100%

 

0,16 × 100%

 

= 16%

A partir de los cálculos previos, que se realizaron utilizando herramientas matemáticas, se puede determinar si existe una relación entre la tasa de exportación de metales y minerales y la tasa de crecimiento del Producto Interno Bruto (PIB) de Colombia durante el período comprendido entre 2001 y 2021. Para llevar a cabo este análisis, se emplearon ecuaciones secundarias que fueron necesarias para avanzar adecuadamente en el proceso y llegar a una ecuación final de la forma  \(\hat y=0.1907x+2.557\), donde "y" representa la tasa de crecimiento del PIB y "x" la tasa de exportación de metal y minerales. La pendiente de la recta es 0.1907 y el término constante es 2.557. Esto refiere que, en promedio, por cada unidad de incremento en la tasa de exportaciones de metales y minerales, se espera un aumento de 0.1907 en la tasa de crecimiento del PIB de Colombia.

 

El cálculo obtenido de la correlación de Pearson de 0.40 evidencia  una relación positiva entre las dos variables, lo que significa que a medida que aumenta la tasa de exportaciones de metales y minerales, también tiende a aumentar la tasa de crecimiento del PIB anual de Colombia. Sin embargo, la fuerza de esta relación es moderada, lo que implica que otros factores también están influyendo en el crecimiento económico del país.

 

Simultáneamente, el valor de coeficiente de determinación de 0.16 se analiza que aproximadamente el 16% de la variabilidad en la tasa de crecimiento del PIB de Colombia puede ser explicada por la tasa de exportaciones de metales y minerales. De este modo, el 84% restante de la variabilidad no puede ser explicada por las variables incluidas en el modelo.

En conclusión, después de realizar los cálculos y analizar los datos para abordar la pregunta de investigación sobre el desarrollo económico de Colombia, a través del uso de la regresión lineal y considerando la tasa de exportaciones de metales y minerales junto con la tasa de crecimiento anual del PIB en el periodo histórico comprendido entre 2001 y 2021, se pudo observar una relación significativa, aunque no muy fuerte, entre ambas variables económicas.

 

Es importante destacar que, si bien las exportaciones de metales y minerales pueden contribuir al crecimiento económico, no son el único factor que impulsa el desarrollo de Colombia. Otros aspectos como la inversión extranjera, el gasto público, las políticas gubernamentales y la estabilidad macroeconómica también desempeñan un papel crucial en la determinación del crecimiento económico sostenible.

 

Por lo tanto, utilizando la regresión lineal calculada mediante fórmulas propias y verificada digitalmente a través de Excel, se ha determinado el coeficiente de correlación que cuantifica la fuerza de la relación lineal entre las variables "Tasa de exportaciones de metales y minerales" y "Tasa de crecimiento del PIB". El valor obtenido, r = 0.40, indica una correlación positiva débil. Según el criterio de Cohen (1988), esta magnitud se considera un efecto medio al encontrarse entre 0.3 y 0.5. Esto significa que las dos variables no están fuertemente interdependientes, y aunque existe una asociación, su nivel de dependencia es bastante bajo.

 

Para finalizar, a pesar de lo mencionado previamente, se logró cumplir con éxito el objetivo de esta investigación al establecer una conexión entre las tasas de exportación y desempleo. Esto se logró mediante el procesamiento manual y generalizado de los datos, lo cual permitió construir la ecuación para la regresión lineal de la siguiente manera: Tasa de crecimiento del PIB = 0.1907 Tasa de exportaciones de metales y minerales +2.557. Gracias a esto, pudimos observar cómo la tasa de crecimiento del PIB aumenta en relación con la tasa de exportaciones de metales y minerales, lo que nos permite establecer rangos para futuros periodos e incluso realizar predicciones.

Banco Mundial. (2022). Exportaciones de metales y minerales (% de las exportaciones de mercaderías)- Colombia. https://acortar.link/22QI7c

 

Banco Mundial. (2022). Gráfico de líneas correspondiente al histórico de la tasa de exportaciones metales y minerales en Colombia. [Figura]. https://acortar.link/zrDgHB

 

Banco Mundial. (2022). Gráfico de líneas correspondiente al histórico de la tasa de crecimiento Banco Mundial.(2022). Crecimiento del PIB (%anual) – Colombia. co de la tasa de crecimiento Banco Mundial.(2022). Crecimiento del PIB (%anual) – Colombia. https://acortar.link/22QI7c

 

Benítez, E. (2021). Diagrama Cajas y Bigotes. Que no te aburran las M@TES. Matesnoaburridas. https://acortar.link/9NbiWX

 

Buchan, L. Fensom, J. Kemp, E. La Rondie, P. & Stevens, J. Matemáticas Nivel Medio Libro del Alumno. Oxford. Issu. (2016). Revista estadística/ Regresión Lineal. Issu  https://issuu.com/crismarcontreras6/docs/revista_estadistica

 

López, L. (2021). Diagrama de Dispersión y Correlación en Excel. [Video]. YouTube. https://cutt.ly/dNe46Mp

 

MateFacil. (2016). Ecuación de correlación lineal Ejercicio Resuelto (Coeficiente de Pearson, regresión lineal). [Video]. YouTube. https://cutt.ly/VNe7vx7

 

PIB anual Colombia. [Figura]. https://acortar.link/zrDgHB

 

Pockel, C. (2012). Regresión Lineal como Técnica más Eficiente para le Previsión de la Demanda. https://acortar.link/UhVWVA

 

Research Gate. (2018). Interpretación de los valores que entrega el coeficiente de correlación de Pearson. [Figura]. https://acortar.link/R6FOr0

 

Toppr. (s.f). Ejemplificación distintos grados de correlación. [Figura]. https://acortar.link/g5l4Fw